Ascending Primitive Sequence System

This is similar to Hyper Primitive Sequence System, but the parent condition is slightly different

Definition
A sequence in this notation is $$(a_i)_{0\le i\le l}$$ where $$l\in\mathbb{N}$$ and $$a_0=0$$.

For a nonzero index i with $$0<i\le l$$, define its parent index $$P(i)$$as $$\text{max}(\{k<i:a_k<a_i\})$$ (the same as PrSS)

For a nonempty sequence $$(a_i)_{0\le i\le l}$$ and a natural number n, define a sequence $$\text{Expand}((a_i)_{0\le i\le l},n)$$:


 * 1) If $$a_l=0$$, then define $$\text{Expand}((a_i)_{0\le i\le l},n):=(a_i)_{0\le i\le n-1}$$
 * 2) Else $$a_l\neq 0$$, then:
 * 3) Put $$d:=a_l-a_{P(l)}-1$$
 * 4) Put $$g:=(a_i)_{0\le i<P(l)}$$
 * 5) For $$0\le j\le n$$, put $$b_j:=(a_i+j\times d)_{P(l)\le i<l}$$
 * 6) Define $$\text{Expand}((a_i)_{0\le i\le l},n)=g\frown b_0\frown b_1\frown\cdots\frown b_n$$, where $$\frown$$ denotes sequence concatenation

Analysis
This is BM4 (Bashicu Matrix System version 4)


 * (0,0)(1,1)=(0,2)
 * (0,0)(1,1)(0,0)=(0,2,0)
 * (0,0)(1,1)(0,0)(1,0)=(0,2,0,1)
 * (0,0)(1,1)(0,0)(1,0)(2,0)=(0,2,0,1,2)
 * (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=(0,2,0,2)
 * (0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)=(0,2,0,2,0,2)
 * (0,0)(1,1)(1,0)=(0,2,1)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(1,0)=(0,2,1,1)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,0)=(0,2,1,2)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,1,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)=(0,2,1,3)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)=(0,2,1,3,1)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=(0,2,1,3,1,2)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,1,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,1,3,1,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,1,3,2)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,1,3,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,1,3,2,3,4)
 * (0,0)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,1,3,2,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)=(0,2,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)=(0,2,2,1)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)=(0,2,2,1,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,1,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)=(0,2,2,1,3,1)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=(0,2,2,1,3,1,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,1,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,1,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,1,3,1,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,2,1,3,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(2,0)=(0,2,2,1,3,2,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,2,3,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,2,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,2,4,2,3,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,2,4,2,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(5,0)=(0,2,2,1,3,2,4,3,4,5)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,2,1,3,2,4,3,5)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,2,1,3,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)=(0,2,2,1,3,3,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,3,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,3,2,3,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,2,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,0)(5,0)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3,4,5)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,3,5)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,4)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,1)(3,0)(4,1)(4,1)=(0,2,2,1,3,3,2,4,4,3,5,5)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,2,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)=(0,2,2,2,1)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)=(0,2,2,2,1,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,2,2,1,2,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)=(0,2,2,2,1,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,2,2,1,3,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,0)(2,1)(2,1)(2,1)=(0,2,2,2,1,3,3,3)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,2,2,2)
 * (0,0)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,2,2,2,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)=(0,2,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)=(0,2,3,1)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,0)=(0,2,3,1,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,2,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,3,1,3,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,3,2,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,3,1,3,2,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,3,1,3,2,4,3,5)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)=(0,2,3,1,3,3,1)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,2,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)(1,0)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,1,3,1,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,0)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,0)(3,1)(3,0)(4,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,2,4,3,5)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,1)(1,0)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,1,3,3,1,3,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)=(0,2,3,1,3,3,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,0)(3,1)(3,1)=(0,2,3,1,3,3,2,4,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)=(0,2,3,1,3,3,3,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)=(0,2,3,1,3,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)=(0,2,3,1,3,4,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,3,1,3,4,2,3,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)=(0,2,3,1,3,4,2,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,0)(2,1)(3,0)(2,0)(3,1)(4,0)=(0,2,3,1,3,4,2,4,5)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)=(0,2,3,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)?=(0,2,3,2,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(1,1)(1,1)=(0,2,3,2,2,2)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(1,1)(2,0)=(0,2,3,2,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(2,0)=(0,2,3,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,0)=(0,2,3,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,0)(4,0)=(0,2,3,4,5)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)=(0,2,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)=(0,2,4,1)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)(2,1)=(0,2,4,1,3)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)(2,1)(3,0)=(0,2,4,1,3,4)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,0)(2,1)(3,0)(4,1)=(0,2,4,1,3,5)
 * (0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(1,1)=(0,2,4,2)